(Fonction logique(1

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1.Déffinition:

On appelle variable binaire une variable pouvant prendre 2 valeurs notées 0 et 1

exemples: interrupteur ouvert ou fermé, capteur de fin de course, courant nul ou non nul dans un circuit


On appelle fonction logique (ou booléenne) une fonction définie sur IIn à valeur dans II



Une fonction logique est donc une fonction de variables binaires
Une fonction logique peut prendre 2 valeurs notées 0 et 1


Exemple: L (état de la lampe)est une fonction logique des variables p1 et p2 liées aux poussoirs

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/ladder1.gif

Une fonction logique peut être représentée par une table donnant pour les différentes valeurs des variables, la valeur correspondante de la fonction.


Cette table est appelée table de vérité

Exemple de table de vérité:

http://im86.gulfup.com/w4RC3D.jpg (http://www.gulfup.com/?GiE74w)


Une fonction logique peut s'exprimer algébriquement en utilisant l'algèbre de Boole



2.Algèbre de Boole


L'algèbre de Boole utilise 3 opérations élémentaires:



le complément) noté /)

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/anim3.gif

le produit logique)noté par un point .)

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/anim1.gif

la somme logique) noté par le signe +)

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/anim2.gif

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(Complément (Non / Not

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/anim3.gif

expression algébrique:

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image876.gif

("S = /a se lit S égal "complément de a" (ou "a barre" , ou "Non a


(pour des facilités d'écriture nous utiliserons par la suite la première notation)

http://im74.gulfup.com/9vbjRH.jpg (http://www.gulfup.com/?UoTlvi)

(Somme logique (OU / OR

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/anim2.gif

expression algébrique : S = a + b

http://im56.gulfup.com/iazUi0.jpg (http://www.gulfup.com/?PwGzwB)


(Produit logique (ET / AND

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/anim1.gif

expression algébrique : S = a . b

http://im76.gulfup.com/WDi4EO.jpg (http://www.gulfup.com/?pvR0ut)



(OU exclusif (XOR





ON peut utiliser d'autres opérateurs logiques (implications, inhibition, ou exclusif,....)

Le OU exclusif est un opérateur souvent utilisé; il s'écrit sous la forme:

S = a Å b


S= 1 si a=1 ou b=1 mais pas les 2


Le Ou exclusif peut s'exprimer en fonction des opérateurs /, ET , OU:

S = a Å b = a./b + /a.b

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Regles de calculs:

http://im78.gulfup.com/CrUgGH.jpg (http://www.gulfup.com/?b7HHza)

Règles de DE MORGAN

http://im76.gulfup.com/9ZCJWL.jpg (http://www.gulfup.com/?fx5fUp)

Expression logique:


Une fonction logique peut s'exprimer par une expression algébrique

Exemple:
http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image5.gif
A cette expression algébrique correspond une table de vérité unique:

http://im79.gulfup.com/ecSBq4.jpg (http://www.gulfup.com/?tAzqDH)

Par contre la fonction définie par cette table de vérité peut s'exprimer par différentes expressions logiques:

par exemple

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image7.gif
ou
http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image6.gif

A partir d'une table de vérité ont peut exprimer la fonction sous forme canonique par exemple de somme de produits: à chaque 1 de la fonction correspond un terme de la somme; chaque terme est le produit des variables à 1 et du compléments des variables à 0

http://im72.gulfup.com/p1TIGx.jpg (http://www.gulfup.com/?d10iuR)
Par exemple cette table donne la fonction:
http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image13.gif

Logigramme:

Une fonction logique peut être représentée graphiquement par un logigramme

Les symboles graphiques utilisés sont les suivants:

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/symboles.gif

----------------------------------------------------------------
(Exemple: F= (b+c).(a+/c

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/logigram.gif

Exercices:

Simplifiez algébriquement:

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image2.gif

Calculez le complément de l'expression logique:

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image3.gif

Etablir les tables de vérité des fonctions:

http://www.lab.cnrs.fr/cours_automatique/logique/ch2/image4.gif

Exprimer sous la forme somme canonique les fonctions F1 et F2 données par leur table de vérité:

http://im44.gulfup.com/ksLp7Q.jpg (http://www.gulfup.com/?AtOFpR)

On désire réaliser un circuit à 3 entrées binaires dont la sortie est à 1 si 2 des entrées au moins sont à 1.

Etablir la table de vérité
Donner l'expression logique de la fonction

Simplifier cette expression

Donner un logigramme utilisant uniquement des "NAND" à 2 entrées