ورطة !!!!!!!!!!!! ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
08-06-2009, 04:24 PM
تساؤل صغير يلوح في أفق أفكاري طرح مشكلة كبيرة لا بل ورطة ...بالنسبة لي على الأقل..."اللانهاية"
ما هو مفهوم اللانهاية ..!!؟وكيف يتعامل الرياضيون مع هذا المفهوم.!؟
يطرح مفهوم اللانهاية بين الرياضيين وغير الرياضيين على حد سواء صعوبات كثيرة في التعامل معه.
عن اللانهاية العددية يمكن تصورها من خلال المحور العددي فالأعداد الطبيعية تتوالى على هذا المحور بلا نهاية لكن الصعوبة في الفهم تبدأ عندما نجد هناك لا نهايات ضمن لانهايات ..فلانهاية الأعداد الفردية فقط عن الأعداد الطبيعية لاتقل عن الأعداد الطبيعية نفسها و الأعداد الكسرية لانهاية تغطي كافة أعداد المحور حيث تتقارب الأعداد الكسرية من بعضها بشكل لانهائي لكنها مع ذلك تترك مجالاً للانهاية أوسع منها هي لانهاية الأعداد الحقيقية من نمط العدد .
كيف يمكن لقطعة مستقيمة و محدودة أن تعين عدداً لا نهائي من القطع ..؟؟؟
هل يمكن أن تحتوي اللانهايات بعضها البعض..؟؟
هناك مثال طريف يعطى على اللانهاية. وهو مثال فندق يحوي عدداً لانهائياً من الغرف. ففي هذا الفندق يمكن إيواء عدد لامنته من الضيوف. وحتى إن جاء عدد لانهائي آخر فيمكن إيواؤه وذلك بنقل النزلاء من ذوي الغرف الفردية إلى غرف زوجية. وهكذا يمكن تفريغ عدد لانهائي من الغرف للقادمين الجدد. وهذا يعني أن هذا الفندق يتسع للانهاية مستمرة من القادمين الجدد. لقد اكتشف الرياضي الألماني جورج كانتور George Cantor (1845-1918) لانهايات أخرى أكبر أيضاً. إن لانهاية الفندق هي اللانهاية
القابلة للعد: إذ يمكن ترقيم كل عنصر من المجموعة اللانهائية. أما لانهاية الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال مواضع النقاط على قطعة مستقيمة، فهي لانهاية غير قابلة للعد، ولانهاية الأعداد الحقيقية أكبر من اللانهاية القابلة للعد. وأحد التناقضات الرياضية هو التالي:
مهما كانت نقطة من قطعة مستقيمة فاصلتها كسرية (أي يمكن التعبير عنها بواسطة كسر)، توجد نقطة أخرى لانهائية القرب منها ذات فاصلة كسرية هي أيضاً. ويبدو أن النقاط ذات الفواصل الكسرية "تملأ" مجمل القطعة المستقيمة: ومع ذلك فهي أقل عدداً بلانهاية من المرات على هذه القطعة المستقيمة نفسها من النقاط ذات الفواصل غير الكسرية (مثل جذر الاثنين مثلاً). إن نقاط الفاصلة غير الكسرية هذه تشكل لانهاية أكبر. ويمكننا بناء لانهايات أكبر منها أيضاً، وهناك لانهاية اللانهايات، وهي بترتيب الحجم اللانهاية القابلة للعد، ولانهاية الاتصالية، ولانهاية التوابع. “ويمكننا اختراع، لكن لا أن نتمثل أنفسنا، لانهايات إلى ما وراء لانهاية التوابع"، هذا ما كان يقوله الفيزيائي الشهير الروسي الأمريكي جورج غاموف Georges Gamow (1904-1968)....
أما أنا وبعد طول تساؤل أقتنعت بفكرة أن محدودية العقل البشري حيال القضايا اللامتناهية والغير محدودة لا يمكن لها أن تعطينا نتيجة كاملة تحيط بجميع جوانب مثل تلك القضايا..وهذه هي نهاية.ال...ور..طة..
ما هو مفهوم اللانهاية ..!!؟وكيف يتعامل الرياضيون مع هذا المفهوم.!؟
يطرح مفهوم اللانهاية بين الرياضيين وغير الرياضيين على حد سواء صعوبات كثيرة في التعامل معه.
عن اللانهاية العددية يمكن تصورها من خلال المحور العددي فالأعداد الطبيعية تتوالى على هذا المحور بلا نهاية لكن الصعوبة في الفهم تبدأ عندما نجد هناك لا نهايات ضمن لانهايات ..فلانهاية الأعداد الفردية فقط عن الأعداد الطبيعية لاتقل عن الأعداد الطبيعية نفسها و الأعداد الكسرية لانهاية تغطي كافة أعداد المحور حيث تتقارب الأعداد الكسرية من بعضها بشكل لانهائي لكنها مع ذلك تترك مجالاً للانهاية أوسع منها هي لانهاية الأعداد الحقيقية من نمط العدد .
كيف يمكن لقطعة مستقيمة و محدودة أن تعين عدداً لا نهائي من القطع ..؟؟؟
هل يمكن أن تحتوي اللانهايات بعضها البعض..؟؟
هناك مثال طريف يعطى على اللانهاية. وهو مثال فندق يحوي عدداً لانهائياً من الغرف. ففي هذا الفندق يمكن إيواء عدد لامنته من الضيوف. وحتى إن جاء عدد لانهائي آخر فيمكن إيواؤه وذلك بنقل النزلاء من ذوي الغرف الفردية إلى غرف زوجية. وهكذا يمكن تفريغ عدد لانهائي من الغرف للقادمين الجدد. وهذا يعني أن هذا الفندق يتسع للانهاية مستمرة من القادمين الجدد. لقد اكتشف الرياضي الألماني جورج كانتور George Cantor (1845-1918) لانهايات أخرى أكبر أيضاً. إن لانهاية الفندق هي اللانهاية
القابلة للعد: إذ يمكن ترقيم كل عنصر من المجموعة اللانهائية. أما لانهاية الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال مواضع النقاط على قطعة مستقيمة، فهي لانهاية غير قابلة للعد، ولانهاية الأعداد الحقيقية أكبر من اللانهاية القابلة للعد. وأحد التناقضات الرياضية هو التالي:
مهما كانت نقطة من قطعة مستقيمة فاصلتها كسرية (أي يمكن التعبير عنها بواسطة كسر)، توجد نقطة أخرى لانهائية القرب منها ذات فاصلة كسرية هي أيضاً. ويبدو أن النقاط ذات الفواصل الكسرية "تملأ" مجمل القطعة المستقيمة: ومع ذلك فهي أقل عدداً بلانهاية من المرات على هذه القطعة المستقيمة نفسها من النقاط ذات الفواصل غير الكسرية (مثل جذر الاثنين مثلاً). إن نقاط الفاصلة غير الكسرية هذه تشكل لانهاية أكبر. ويمكننا بناء لانهايات أكبر منها أيضاً، وهناك لانهاية اللانهايات، وهي بترتيب الحجم اللانهاية القابلة للعد، ولانهاية الاتصالية، ولانهاية التوابع. “ويمكننا اختراع، لكن لا أن نتمثل أنفسنا، لانهايات إلى ما وراء لانهاية التوابع"، هذا ما كان يقوله الفيزيائي الشهير الروسي الأمريكي جورج غاموف Georges Gamow (1904-1968)....
أما أنا وبعد طول تساؤل أقتنعت بفكرة أن محدودية العقل البشري حيال القضايا اللامتناهية والغير محدودة لا يمكن لها أن تعطينا نتيجة كاملة تحيط بجميع جوانب مثل تلك القضايا..وهذه هي نهاية.ال...ور..طة..
