كورت جودل وأزمة اليقين في الرياضيات.
09-04-2016, 01:16 PM
أزمة اليقين في الرياضيات.
نظريه جودل مبرهنة عدم الاكتمال
مقدمه :
في اول النظريات التي سوف نتاولها في هذه المدونه هي نظريه جودل (1906-1978) لعدم الاكتماليهGödel Incompleteness Theorem وهم في الواقع نظريتان تم نشرهما سنه 1930-1931 وكان لهم اثر بالغ جدا في المجتمع العلمي امتد أيضا هذا التأثير ألى الفلسفه وبالتالي فهي مهمه في موضوعات المناقشه هنا لأنها تمكنا من فهم طبيعه الرياضيات والمنطق الرياضي خاصه والعلوم عامه وهي ادوات الانسان في فهم والسيطره علي الطبيعه وفي البدايه نعرض بعض المفاهيم التي سوف تسهل فهم النظريه .
في الصوره كارت جودل Kurt Gödel))
المسلمات Axioms:
هي الفروض الاوليه للنظريه وهي حقائق قد تكون غير مثبته في بعض الاحيان ولكن أتفق علي صحتها ففي الهندسه الاوليه يوجد مسلمات أقليدس (احدها مثلا ان الزوايا القائمه هي واحده اي ان لا يوجد زاويه قائمه مختلفه عن الاخري) يعتمد عليها في اثبات بقيه النظريات في الهندسه وكل نظام رياضي له بعض المسلمات سواء مثبته ام لا ولكن الاهم انها واضحه وصحيحه ويعتمد عليها.
في الشكل نوضح الخمس مسلمات في هندسه أقليدس المستويه
قواعد وادوات الاستنتاج rules of inference :
وهي العمليات المعروفه و المتفق علي صحتها وتستخدم في استنباط القواعد الجديده من مجموعه من القواعد الاوليه اي انها الطرق المعروفه في اثبات اي قاعده جديده في النظام الرياضي.
نظام متكامل complete System :
يقال علي النظام انه نظام متكامل عندما يمكننا من استنتاج أو برهنه اي نظريه داخل نطاقه .
عدم التعارض Consistency :
اي ان النظام لا يحتوي علي برهان واحد يعطي نتائج مختلفه مثال ان يعطي نتيجه انك موجود في البيت وفي الخارج في نفس الوقت.
في الصوره مثال على التعارض
النظام المتسق Formal System:
هو نظام يتكون من عدد محدود ( محدود هنا تعني انه كميه قابله للعد ) من المسلمات وقواعد وادوات للاستنتاج.
النظريه الاولي لجودل :
في اي نظام رياضي عددي متسق يوجد عباره لا يمكن التحقق من صحتها اوعدم صحتها.
النظريه الثانيه لجودل :
لكي يكون النظام الرياضي العددي المتسق غير متعارض لابد ان يكون غير متكامل.
و معني هذا في النظريه الاولي تقول انه يوجد في كل نظام عباره (عباره رياضيه علي الاقل) لايمكن التحقق منها وهذه العباره هي "هل هذا النظام صحيح" وهذه العباره غير قابله للاجابه من داخل النظام فلا يمكن من التحقق من صحه او عدم صحه نظام من داخله وجودل هنا اعاد صياغه مغالطه قديمه تقول انك غير قادر علي اثبات صحه او خطأ العباره التاليه "انا كذاب" فأن كانت صحيحه لابد ان تكون غير صحيحه والعكس صحيح فهي عباره تستخدم نفسها كمرجعيه. فلاثبات صحه نظام لابد من ادخاله في نظام اكبر ثم اثبات النظام الجزئي وهنا يوجد مثال جيد ان المجنون لا يستطيع ان يعرف انه مجنون من داخل نفسه ولكن من يستطيع ذلك هو شخص طبيعي أخر وحتي في التفكير في بعض الاحيان ان تعرض شخص لمشكله ينصح بأن ينظر للمشكله من الخارج حتي يستطيع حلها وأيضا هذا صحيح في النظام الرياضي العددي.
اما في النظريه الثانيه فهي تعتبر استنتاج من الاولي فأن كان هناك نظام يحتوى على مثل هذه العباره فأنها تجعل هذا النظام غير متكامل (لانه لا يستطيع الاجابه عن هذه العباره بداخله لانه ان أجاب فستكون الاجابه متعارضه) نستنتج من ذلك انه لكي يكون غير متعارض يجب الا يجيب عن هذه العباره فيكون بهذا نظام غير متكامل.
ولكن قبل القفز فوق الحقائق (كالعاده) نعرض بعض الحقائق:
1- ان جودل نفسه قبل هذه النظريه أثبت في ورقه علميه منشورة كمال المنطق الاولي (first-order predicate calculus)
Gödel, K (1929). Über die Vollständigkeit des Logikkalküls. Doctoral dissertation. University Of Vienna
2- هذه النظريه تقر بعدم أكتمال النظام الرياضي العددي ولكن ليس عدم صحته (فهو صحيح لسلامه قواعد الاستنتاج فيه) فهناك فرق بين الاكتمال وعدم الصحه .
مناقشه الافكار:
هذه النظريه تقر بعدم أكتمال النظام الرياضي العددي ولكن هل هذا صحيح أيضا علي العلم عاما بالنظر الي العلم نظره كليه نجد انه عباره عن تراكم للمعارف الانسانيه وهذه المعارف تزيد بمقدار التقدم في اجهزه القياس فهو دائما في تطور وايضا دائم النقص لانه ان كان كامل فلا يوجد ما نزيده عليه غدا وهو ما لا يحدث واعتقد انه لن يحدث.
ولكن لماذا ؟ اعتقد لان العلم محدود بحدود لا يمكن له تخطيها وهي:
حدود حجم :
اي ان حجم الظاهره يعتبر عائق لأثبات صحتها او عدم صحتها مثال نظريه الاوتار غير مثبته فهي الي الان نموذج رياضي جميل ولكن بدون اثبات (مشاهده او تجربه قابله للتكرار) والعائق هو صغر حجم الجسيمات محل بحث النظريه وغيرها من الامثله كثير سواء في الكبر او الصغر.
حدود مسافه :
لم نتمكن في بعض الاحيان من دراسه الاجرام السماويه البعيده وذلك لتعذر ذالك في احيان كثيره.
حدود عدد :
فإلي الان لم يتم حسم العديد من المشكلات لان موضوع البحث في الظاهره يتضمن بحث عدد كبير جدا من العناصر تصل في بعض الاحيان الي الاستحاله مثال مشكله "رجل المبيعات" في علوم الكمبيوتر حتي مع وجود بعض الحلول لها ولكن لا يمكن التأكد من ان الحل الموجود هو الحل الامثل ولا يوجد أثبات اننا سوف نحصل علي الحل الامثل ام لا ويوجد صف كبير من نفس نوعيه هذه المشاكل.
حدود دقه :
فأدق الاجهزه العلميه مهما بلغت تطورها (حتى ما سيصنع في المستقبل) لها درجه معينه من الدقه ومن المستحيل علميا الوصول الي درجه الدقه النهائيه وفي بعض الاحوال لا نستطيع حتي ان نقترب منها وهنا اعطي مثال بسيط يمكن ان تجربه الان حاول ان تحصل علي رقم النسبه (ط) المستخدمه في ايجاد مساحه و محيط الدائره اي كمبيوتر مهما بلغت دقته يعطي عدد معين بعد العلامه ولكن العدد اصلا لا يمكن الوصول لنهايته فهو عدد يمثل كميه غير معينه مثال أخربقسمه 1/3 تعطي .333333333….. حتي ان بعض العلماء امثال جيوجرى شاينتن (Gregory Chaitin) يشك في وجود الاعداد الحقيقيه اصلا حيث لا يمكن الوصول الي تحديدها تحديد نهائي.
واقترح استبدال الفيزياء بما يسمي الفيزياء العدديه digital physics وفيها يستخدم رياضيات الحاسب الرياضه المتقطعه Discrete mathematics ولكن ذلك سيسبب مشاكل اكبرواكثر من مشكله عدم القدره علي التحديد .
في الصوره تمثيل للاعداد الحقيقيه
فالعلم اذن لا نستطيع ان نجزم بدقته وطالما هو دائم الزياده (بالتخصص او الشموليه) فلا نستطيع ان نجزم بصحته المطلقه (ذلك بان يكون صحيح في كل زمان ومكان ) وايضا اكتماله فهو ناقص دائما اي ان هناك اشياء لم يصل اليها العلم اي ان ليس كل ما هو موجود مثبت علميا وليس ما هو مثبت هو الموجود فقط ومن الواضح انه سيظل كذلك الي الابد.
منقول - بتصرف-
ملاحظة :
مسألة " وجود خلل في النسق الرياضي " أدهشت أعظم علماء القرن العشرين في الرياضيات وهو " دفيد هلبرت " وقضى ماتبقى من حياته يبحث عن " الخلل ".
