المصفوفات
 

منقول للفائدة

العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات
أولا : جمع المصفوفات :
تعريف
لتكن A , B مصفوفتين كلا منهما من الشكل m×n , فإن مجموعهما هي المصفوفة c وهي أيضا من الشكل m×n .
ويلاحظ من التعريف أنه لكي يمكن جمع مصفوفتين يجب أن تكونا من الشكل نفسة , وبذلك كل عنصر في مصفوفة الجمع هو مجموع العنصرين المناظرين في المصفوفتين .

مبرهنة
إذا كانت x مجموعة المصفوفات من الشكل m×n , فإن النظام (x , +) زمرة أبدالية , حيث (+) هي عملية جمع المصفوفات .
البرهان :
- (+) عملية إبدالية لأنه :
∀ A , B ∈ x ⇒ A+B = [Aer+ Ber] =[ Ber+ Aer]=B+A
أي أن :
A+B= B+A

Aer (e تعني ترتيب الصفوف في المصفوفة , r تعني ترتيب الأعمدة في المصفوفة )
- (+) عملية تجميعية لأنه :
∀ A , B, C ∈ x ⇒( A+B)+C = [(Aer+ Ber)+ Cer] =[ Aer+( Ber + Cer)]= A+(B+C)
أي أن :
( A+B)+C = A+(B+C)
- يوجد عنصر محايد في x هو المصفوفة الصفرية (0) , ومن الشكل نفسة أي أن :

∀ A ∈ x ⇒ A+0 = 0+A = A
- ∀ A ∈ x يوجد نظير -A ∈ x بحيث أن :
A+(-A ) = (-A )+A = 0
( يسمى -A النظير الجمعي للمصفوفة A)
وبالتالي فإن النظام (x , +) زمرة تبديلية .
مثال :
لتكن :



أوجد :
A+B , B+A

الحل :


ومنه نلاحظ أن :


A+B = B+A

مثال أخر:
أوجد المصفوفة x التي تحقق :






الحل :
X يجب أن تكون من الشكل 2×3 , أي أن :



∵ المصفوفتان متساويتان
-1+x11=4 ⇔x11=5
5+x12=1 ⇔ x12= -4
2+x13=3 ⇔ x13= -5
4+x21=3 ⇔ x21= -1
7+x22=2 ⇔ x22= -5
-6+x23=1 ⇔ x23= 7
وبالتالي فإن :
العمليات على المصفوفات-جمع المصفوفات
أولا : جمع المصفوفات :
تعريف
لتكن A , B مصفوفتين كلا منهما من الشكل m×n , فإن مجموعهما هي المصفوفة c وهي أيضا من الشكل m×n .
ويلاحظ من التعريف أنه لكي يمكن جمع مصفوفتين يجب أن تكونا من الشكل نفسة , وبذلك كل عنصر في مصفوفة الجمع هو مجموع العنصرين المناظرين في المصفوفتين .

مبرهنة
إذا كانت x مجموعة المصفوفات من الشكل m×n , فإن النظام (x , +) زمرة أبدالية , حيث (+) هي عملية جمع المصفوفات .
البرهان :
- (+) عملية إبدالية لأنه :
∀ A , B ∈ x ⇒ A+B = [Aer+ Ber] =[ Ber+ Aer]=B+A
أي أن :
A+B= B+A

Aer (e تعني ترتيب الصفوف في المصفوفة , r تعني ترتيب الأعمدة في المصفوفة )
- (+) عملية تجميعية لأنه :
∀ A , B, C ∈ x ⇒( A+B)+C = [(Aer+ Ber)+ Cer] =[ Aer+( Ber + Cer)]= A+(B+C)
أي أن :
( A+B)+C = A+(B+C)
- يوجد عنصر محايد في x هو المصفوفة الصفرية (0) , ومن الشكل نفسة أي أن :

∀ A ∈ x ⇒ A+0 = 0+A = A
- ∀ A ∈ x يوجد نظير -A ∈ x بحيث أن :
A+(-A ) = (-A )+A = 0
( يسمى -A النظير الجمعي للمصفوفة A)
وبالتالي فإن النظام (x , +) زمرة تبديلية .
مثال :
لتكن :

http://3.bp.blogspot.com/-oI8WQIwclT...9%85%D8%B9.png

أوجد :
A+B , B+A

الحل :
http://4.bp.blogspot.com/-ekE6QygMsv...9%85%D8%B9.png

ومنه نلاحظ أن :


A+B = B+A

مثال أخر:
أوجد المصفوفة x التي تحقق :


http://3.bp.blogspot.com/-Y9PRHqAVlA...8%A7%D8%AA.png



الحل :
X يجب أن تكون من الشكل 2×3 , أي أن :

http://1.bp.blogspot.com/-d09yD7e9Bx...9%85%D8%B9.png

∵ المصفوفتان متساويتان
-1+x11=4 ⇔x11=5
5+x12=1 ⇔ x12= -4
2+x13=3 ⇔ x13= -5
4+x21=3 ⇔ x21= -1
7+x22=2 ⇔ x22= -5
-6+x23=1 ⇔ x23= 7
وبالتالي فإن :

http://4.bp.blogspot.com/-uC5cf6jMH3...8%A6%D9%8A.png