تسجيل الدخول

المغالطة الرياضية (Mathematical fallacy) هى حجة غير صحيحة (invalid argument) تؤدى إلى نتائج (results) قد تبدو لأول وهلة أنها منطقية (logical) ، ولكنها عند التحقيق تكون غير صحيحة (incorrect) ..

المغالطات الرياضية كثيرة ومتعددة ، وتقريبا لكل فرع من فروع الرياضيات الأساسية توجد هنالك مغالطات خاصة به ، فهنالك مغالطات تتعلق بفرع الحساب(arithmetic) والجبر بأنواعه سواء أكان خطى أومجرد(linear or abstract algebra)، ومغالطات تتعلق بفرع التحليل المركب(complex analysis)، وأخرى تتعلق بفرع التفاضل والتكامل (Calculus)، وأخرى تتعلق بعلم التوافقيات(Combinatorics) ..الخ.

نعرض عدد من المغالطات المشهورة فى معظم فروع الرياضيات على شكل سلسلة من الحلقات..سنقوم فى هذه الحلقة بعرض إحدى أشهر المغالطات الرياضية فى فرعى الجبر والحساب ، وهى مغالطة القسمة على الصفر (The division-by-zero fallacy )...فى الحقيقة ، هذه المغالطة لها صور كثيرة يمكن أن تظهر من خلالها ، من أمثلتها:

الإدعاء الذى يقول : " أن جميع الأعداد الطبيعية متساوية " (All natural numbers are equal )...

برهان هذا الإدعاء يبدأ أولا بإثبات أن "1 =2" ، ثم إثبات أن "2=3" ، ثم إثبات أن "3=4" ..وهكذا إلى أن نصل إلى إثبات "n=n-1" ويمكن إستخدام الإستنتاج الرياضى (Mathematical induction) أيضا فى هذه الحالة.

وكمثال سنقوم بعرض برهان أن "1=2" ثم الكشف عن المغالطة التى احتوى عليها هذا البرهان..
1) نفرض أن a = b ، حيث a, b > 0
2) الآن بضرب طرفى المعادلة (1) بالعدد b ، ينتج أن : ab = b²
3) بطرح a² من طرفى المعادلة(2) نحصل على: ab - a² = b² - a²
4) بتحليل طرفى المعادلة(3): ( a(b - a) = (b + a)(b - a
5) بقسمة الطرفين على العدد (b-a) يكون لدينا : a = b + a
6) الآن بطرح العدد a من الطرفين ثم إضافة b للطرفين أيضا ينتج لدينا: b = 2b
7) وأخيرا بقسمة الطرفين على العدد b يثبت المطلوب وهو أن : 1 = 2.

وباتباع حجة منطقية مماثلة مع قليل من التعديلات الجبرية ، يمكننا إثبات أن "2=3" ، "3=4".....الخ ومنها نصل إلى برهان صحة الإدعاء الذى يقول :" أن جميع الأعداد الطبيعية متساوية "...لكن ياترى هل هذا البرهان الذى اعتمدنا عليه فى استنتاح صحة هذا الإدعاء هو صحيح من حيث مقدماته المنطقية أم أن هنالك مغالطة تم الإعتماد عليها فى هذا البرهان ؟!!

بالطبع هنالك مغالطة تم اعتمادها خلال هذا البرهان ، وهى مغالطة القسمة على صفر ، وهذه المغالطة يمكن ملاحظتها فى الخطوة رقم (5) حيث تمت قسمة الطرفين على العدد (b-a) ، وهذه القسمة فى حقيقتها قسمة على الصفر لأن (a=b) من الفرض..

- منقول -

الققسمة على 0 تعطي ما لا نهاية ..
بالمناسبة ،،القسمة على الصفر ذكرني بمعامل التضخيم لدى المضخم العملي ،،omplificteur opérationnel ،،لأنه يطعي ما لا نهاية،الامر الذي لم افهمه حتى اليوم ههههههه

مرحباً بالأخ " وائل ".

تصويب : قسمة أي عدد على 0 هو قيمة غير معرفة .
فلنفرض مثلاً أن : 5/0=z هذا يستلزم أن : 5=z*0 وهذا غير ممكن ومن ثم كانت z غير معرفة.
أما كون القسمة على 0 تعطي مالا نهاية فهذا ليس صحيحاً ، ففي حقيقة الأمر أننا في حساب النهايات لا نقسم على الصفر حقيقة وأنما نقسم على قيمة قريبة من الصفر أقرب مايمكن وبذلك نحصل على أنها تؤول إلى المالانهاية عندما تؤول القيمة إلى الصفر، فمثلاً دالة المقلوب x/1 فمهما أقتربت وآلت قيمة x الى الصفر فإن قيمة x لن تساوي الصفر حقيقةً ، وهذا فرق جوهري لفهم معنى حساب النهايات والمتناهيات في الصغر ،كما أن المالانهاية ليست قيمة محددة بل هي تغير لا متناهي في الكبر.

بلا اخي الفاظل عزيز ،،تقترب القيم حسب قيم التقريبية،اذا اكبر او اصغر من الصفر،،هذه لمعلومة اعرفها ،
،لكنني سألتك عن المضخم العملي معامل التضخيم الذي يؤول الى الما لا نهاية حسب المنطق الرياضي.